第一篇:《20xx年大學聯考數列試題彙編》
1(北京理)設{an}是公比為q的等比數列,則"q1"是"{an}"為遞增數列的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
2(大綱理)等比數列{an}中,a4A.6 B.5 C.4 D.3 3(全國文)等差數列?2,a5?5,則數列{lgan}的前8項和等於( )
?an?的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則?an?的前n項和sn=n?n?1?2(D)
(A) n?n?1? (B)n?n?1? (C)n?n?1?2
4(重慶理)對任意等比數列{an},下列説法一定正確的是( )
A.a1,a3,a9成等比數列 B.a2,a3,a6成等比數列C.a2,a4,a8成等比數列 D.a3,a6,a9成等比數列
5(重慶文)在等差數列{an}中,a1?2,a3?a5?10,則a7?( )
A.5 B.8 C.10 D.14
6(大綱文)設等比數列{an}的前n項和為Sn,若S2A.31 B.32 C.63 D.64 ?3,S4?15,則S6?( )
2014年大學聯考數列試題彙編—填空題
1(廣東文) 等比數列= .?an?的各項均為正數且a1a5?4,log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a51?a?a1?an
2(全國文)數列n滿足n?1=
3(北京理)若等差數列項和最大.
4(天津理)設,a2=2,則a1=_________.?an?滿足a7?a8?a9?0,a7?a10?0,則當n?________時?an?的前n{an}是首項為a1,公差為-1的等差數列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數列,則a1的值為__________.
5(江西文)在等差數列?an?中,a1?7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n?8時Sn取最大值,則d的取值範圍_________.
20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題(1)
1(重慶文)已知?an?是首相為1,公差為2的等差數列,Sn表示?an?的前n項和.(I)求an及Sn;(II)設?bn?是首相為2的等比數列,公比q滿足q2??a4?1?q?S4?0,求?bn?的通項公式及其前n項和Tn.
2 (山東文)在等差數列{an}中,已知公差a1?2,a2是a1與a4的等比中項.(I)求數列(II)設bn?an(n?1),記Tn??b1?b2?b3?b4?…?(?1)nbn,求Tn. {an}的通項公式;
2
3. (大綱理)等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a1?10,a2為整數,且Sn?S4. (1)求{an}的通項公式;(2)設bn?
4(大綱文)數列{an}滿足a1?2,a2?2,an?2?2an?1?an?2.(1)設bn?an?1?an,證明(2)求{an}的通項公式. {bn}是等差數列;1,求數列{bn}的前n項和Tn. anan?1
20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題(2)
1(課標文)已知?an?是遞增的等差數列,a2,a4是方程x?5x?6?0的根。
2(I)求?an?的通項公式;(II)求數列??an?的前n項和. n?2??
2(北京文)已知?an?是等差數列,滿足a1?3,a4?12,數列?bn?滿足b1?4,b4?20,且?bn?an?是等比數列.(1)求數列?an?和?bn?的通項公式;(2)求數列?bn?的前n項和.
3、(江西理)已知首項都是1的兩個數列.(1)令求數列的前n項和.,求數列(的通項公式;(2)若滿足3n2?n,n?N?.(1)求數列?an?的通項公式;
4(江西文)已知數列?an?的前n項和Sn? 2(2) 證明:對任意n?1,都有m?N,使得a1,an,am成等比數列.?
5(四川理)設等差數列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數f(x)?2的圖象上(n?N*)。(1)若a1??2,點(a8,4b7)在函數f(x)的圖象上,求數列{an}的前n項和Sn;(2)若xa1?1,函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2?前n項和Tn。a1,求數列{n}的ln2bn
20xx年大學聯考數列試題彙編—解答題(3)
1、(四川文) 設等差數列{an}的公差為d,點(an,b)(n?N)。 n在函數f(x)?2的圖象上(Ⅰ)證明:數列{bn}為等比數列;(Ⅱ)若a1?1,函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2?
2.(廣東理)設數列?an?的前n和為Sn,滿足Sn?2nan?1?3n?4n,n?N,且S3?15, (1)求a1,a2,a3的值;(2)求數列?an?的通項公式。
2
*
x
?
12,求數列{anbn}的前n項和Sn。 ln2
3. (廣東文)設各項為正數的數列?an?的前n和為Sn,且Sn滿足2?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,n?N*(1)求a1的`值;(2)求數列?an?的通項公式; (3)證明:對一切正整數n,有
11??a1(a1?1)a2(a2?1)?
11?an(an?1)3
4(湖北理)已知等差數列通項公式.(2)記為數列滿足:=2,且a1,a2,a5成等比數列.(1)求數列的前n項和,是否存在正整數n,使得的若存在,求n的最小值;若不存在,説明理由.
5.(新課標理)已知數列?an?滿足a1=1,an?1?3an?1.(Ⅰ)證明an?是等比數列,?2?並求?an?的通項公式;(Ⅱ)證明:??…+?.12n
第二篇:《20xx數列理科大學聯考題答案》
1、[2014·福建卷] 等差數列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等於( C )
A.8 B.10 C.12 D.14
2、[2014·遼寧卷] 設等差數列{an}的公差為d.若數列{2a1an}為遞減數列,則( C)
A.d<0 d="">0 C.a1d<0 a1d="">0
3、[2014·全國卷] 等比數列{an}中,a4=2,a5=5,則數列{lg an}的前8項和等於( C )
A.6 B.5 C.4 D.3
4、[2014·重慶卷] 對任意等比數列{an},下列説法一定正確的是(D )
A.a1,a3,a9成等比數列
B.a2,a3,a6成等比數列 C.a2,a4,a8成等比數列 D.a3,a6,a9,成等比數列
5、[2014·安徽卷] 數列{an}是等差數列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列,則q=___1__.
6、[2014·北京卷] 若等差數列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當n=___8___時,{an}的前n項和最大.
7、[2014·天津卷] 設{an}是首項為a1,公差為-1的等差數列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數列,則a1的值為__-2.
8、[2014·廣東卷] 若等比數列{an}的各項均為正數,且1a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=___50__.
9、[2014·江西卷] 已知首項都是1的兩個數列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn={cn}的通項公式; (2)若bn=3n-1,求數列{an}的前n項和Sn.
解:(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以
an+1a2,即cn+1-cnbn+1bn
anbn
=2,
所以數列{cn}是以c1=1為首項,d=2為公差的等差數列,故cn=2n-1.
--
(2)由bn=3n1,知an=(2n-1)3n1,於是數列{an}的前n項和Sn=1×30+3×31+5×32
+…+(2n-1)×3n1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n1+(2n-1)×3n,將兩式相減得
-
-2Sn=1+2×(31+32+…+3n1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
-
-
10、[2014·新課標全國卷Ⅰ] 已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0, anan+1=λSn-1,其中λ為常數.
(1)證明:an+2-an=λ.
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數列?並説明理由.
解:(1)證明:由題設,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1. 因為an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由題設,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1, 由(1)知,a3=λ+1.
若{an}為等差數列,則2a2=a1+a3,解得λ=4,故an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數列, a2n-1=4n-3;
{a2n}是首項為3,公差為4的等差數列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得數列{an}為等差數列.
11、[2014·新課標全國卷Ⅱ] 已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
?1?????是等比數列,並求{an}的通項公式; a+(1)證明n
2????1113
(2)證明+…+a1a2an2
11
an+. 解:(1)由an+1=3an+1得an+13?2?2
1?13?313n
又a1+,所以?an+2是首項為3的等比數列,所以an+=,因此數
22222??
n
3-1
列{an}的通項公式為an=.
212
(2)證明:由(1)知an3-1
-
因為當n≥1時,3n-1≥2×3n1,
11121所以-. -=an3-133-12×3
13111113
1-<於是++…+≤1+?a1a2an32?323
1113所以++…+<.
a1a2an2
*
12、[2014·重慶卷] 設a1=1,an+1a2n-2an+2+b(n∈N).
(1)若b=1,求a2,a3及數列{an}的通項公式.
(2)若b=-1,問:是否存在實數c使得a2n
(an+1-1)2=(an-1)2+1.
從而{(an-1)2}是首項為0,公差為1的等差數列, 故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*).
方法二:a2=2,a32+1.
可寫為a1=1-1+1,a22-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1. 下面用數學歸納法證明上式. 當n=1時,結論顯然成立.
假設n=k時結論成立,即akk-1+1,則
ak+1=(ak-1)+1+1(k-1)+1+1=(k+1)-1+1, 這就是説,當n=k+1時結論成立. 所以an=n-1+1(n∈N*).
(2)方法一:設f(x)(x-1)+1-1,則an+1=f(an).
1
令c=f(c),即c(c-1)+1-1,解得c=.
4
下面用數學歸納法證明命題 a2n
當n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a2<
4
假設n=k時結論成立,即a2k
再由f(x)在(-∞,1]上為減函數,得c=f(c) 故c 1 綜上,存在 c=a2n 假設n=k時結論成立,即0≤ak≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上為減函數,從而 0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=2-1<1. 即0≤ak+1≤1.這就是説,當n=k+1時結論成立.故①成立. 再證:a2n 當n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,所以a2 這就是説,當n=k+1時②成立.所以②對一切n∈N*成立. 由②得a2na2n-2a2n+2-1, 2 即(a2n+1)2 12014數列題,大學聯考 因此a2n. ③ 4 又由①②及f(x)在(-∞,1]上為減函數,得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2. 1 所以a2n+1>a2n+1-2a2n+1+2-1,解得a2n+1 ④ 4 1 綜上,由②③④知存在c=使a2n 13、[2014·湖北卷] 已知等差數列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數列. (1)求數列{an}的通項公式. (2)記Sn為數列{an}的前n項和,是否存在正整數n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,説明理由. 解:(1)設數列{an}的公差為d, 依題意得,2,2+d,2+4d成等比數列, 故有(2+d)2=2(2+4d), 化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 當d=0時,an=2; 當d=4時,an=2+(n-1)·4=4n-2. 從而得數列{an}的通項公式為an=2或an=4n-2. (2)當an=2時,Sn=2n,顯然2n<60n+800, sn="">60n+800成立. n[2+(4n-2)] 當an=4n-2時,Sn2n2. 2 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(捨去), 此時存在正整數n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 綜上,當an=2時,不存在滿足題意的正整數n; 當an=4n-2時,存在滿足題意的正整數n,其最小值為41. 14、[2014·湖南卷] 已知數列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是遞增數列,且a1,2a2,3a3成等差數列,求p的值; 1 (2)若p=,且{a2n-1}是遞增數列,{a2n}是遞減數列,求數列{an}的通項公 2 式. 解:(1)因為{an}是遞增數列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn.而a1=1,因此 a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差數列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0, 1 解得pp=0. 3 1 當p=0時,an+1=an,這與{an}是遞增數列矛盾,故p=3 (2)由於{a2n-1}是遞增數列,因而a2n+1-a2n-1>0,於是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①2014數列題,大學聯考 11 因為<-,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.② 22 12n-1(-1)2n?由①②知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1=?2=③ 2+ 1?2n(-1)2n1?因為{a2n}是遞減數列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-?2?=. 2④ + (-1)n1 由③④可知,an+1-an=. 2(-1)n11 於是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+-+…+=1+2221n-1?1-?-2n 141(-1)+-213321+ 2 n 41(-1) 故數列{an}的通項公式為an=. - 33215、[2014·全國卷] 等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=10,a2為整數,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通項公式; (2)設bn= 1 anan+12014數列題,大學聯考 {bn}的前n項和Tn. 解:(1)由a1=10,a2為整數知,等差數列{an}的公差d為整數. 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0, 於是10+3d≥0,10+4d≤0, 105解得-d 32 因此d=-3. 故數列{an}的通項公式為an=13-3n. (2)bn= 11111 =?10-3n13-3n.於是Tn=b1+b2+…+bn= 3?(13-3n)(10-3n)3? n?11?+11+…+?11=1?11?= ?710?47?10-3n13-3n?3?10-3n10?10(10-3n). 16、[2014·山東卷] 已知等差數列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數列. (1)求數列{an}的通項公式; (2)令bn=(-1)n-1 4n anan+1 {bn}的前n項和Tn. 2×1 解: (1)因為S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2, 24×3 S4=4a1+2=4a1+12, 2 由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1, 所以an=2n-1. (2)由題意可知, bn=(-1)n=(-1)n -1 4n anan+1 -4n (2n-1)(2n+1) 11- =(-1)n12n-1+2n+1?. ??當n為偶數時, 11?11111 ++1+-?++…+?Tn=?-?3?35?2n-32n-1??2n-12n+1? 1 =1 2n+1=2n 2n+1 當n為奇數時, 11??11111 +1+-?++…-?Tn=?+2n-32n-12n-12n+1 ?3?35???? 第三篇:《20xx年大學聯考數列部分試題》 11.[2014·新課標全國卷Ⅱ] 數列{an}滿足an+1=,a=2,則a1=________. 1-an8 2.[2014·重慶卷] 在等差數列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.142014數列題,大學聯考 3.[2014·天津卷] 設{an}是首項為a1,公差為-1的等差數列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數 11列,則a1=( ) A.2 B.-2 D.- 22 4.[2014·江西卷] 在等差數列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時Sn取得最大值,則d的取值範圍為________. 5.[2014·遼寧卷] 設等差數列{an}的公差為d,若數列{2a1an}為遞減數列,則( ) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 6.[2014·新課標全國卷Ⅱ] 等差數列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則{an}的前n項和Sn=( ) n(n+1)n(n-1)A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.22 7.[2014·廣東卷] 等比數列{an}的各項均為正數,且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________. 8.[2014·江蘇卷] 在各項均為正數的等比數列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________. 9.[2014·全國卷] 設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 3n2-n8.[2014·江西卷] 已知數列{an}的前n項和Sn=,n∈N*. 2 (1)求數列{an}的通項公式;(2)證明:對任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比數列. . 9.[2014·北京卷] 已知{an}是等差數列,滿足a1=3,a4=12,數列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn-an}為 等比數列.(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;(2)求數列{bn}的前n項和. 10.[2014·福建卷] 在等比數列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an; (2)設bn=log3an,求數列{bn}的前n項和Sn. 11.[2014·湖北卷] 已知等差數列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數列.(1)求數列{an}的通項公式. (2)記Sn為數列{an}的前n項和,是否存在正整數n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,説明理由. n2+n12.[2014·湖南卷] 已知數列{an}的前n項和Sn=,n∈N*. 2 (1)求數列{an}的通項公式; (2)設bn=2an+(-1)nan,求數列{bn}的前2n項和. 13.[2014·全國卷] 數列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設bn=an+1-an,證明{bn}是等差數列;(2)求{an}的通項公式. 14.[2014·全國新課標卷Ⅰ] 已知{an}是遞增的等差數列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. ?a?(1)求{an}的通項公式;(2)求數列?2?的前n項和. ?? 19.[2014·山東卷] 在等差數列{an}中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項. (1)求數列{an}的通項公式;(2)設bn=an(n?1),記Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn. 2 20.[2014·陝西卷] △ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比數列,且c=2a,求cos B的值. 21.[2014·浙江卷] 已知等差數列{an}的公差d>0.設{an}的前n項和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 22.[2014·重慶卷] 已知{an}是首項為1,公差為2的等差數列,Sn表示{an}的前n項和. (1)求an及Sn; (2)設{bn}是首項為2的等比數列,公比q滿足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通項公式及其前n項和Tn. 23.[2014·安徽卷] 數列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. ?a?(1)證明:數列?n是等差數列; (2)設bn=3n·an,求數列{bn}的前n項和Sn. ??