第三章 因式分解
1。因式分解
定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解。 即:多项式几个整式的积 例:axbx
13131
x(ab) 3
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程。 2。因式分解的方法:
(1)提公因式法:
①定义:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式:多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数
字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂
例:12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是
解析:从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、—8、6,它们的最大公约数为2;字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,故多项式的公因式是2abc。
②提公因式的步骤 第一步:找出公因式;
第二步:提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意:提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简。多项式中第一项有负号的,要先提取符号。
例1:把12ab18ab24ab分解因式。
解析:本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab。
解:12ab18ab24ab
6ab(2a3b4a2b2)
例2:把多项式3(x4)x(4x)分解因式
解析:由于4x(x4),多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项
式各项都含有公因式(x4),所以我们可以提取公因式(x4)后,再将多项式写成积的形式。 解:3(x4)x(4x) =3(x4)x(x4) =(3x)(x4)
例3:把多项式x22x分解因式
解:x22x=(x22x)x(x2) (2)运用公式法
定义:把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a。逆用平方差公式:a2b2(ab)(ab)
b。逆用完全平方公式:a22abb2(ab)2
c。逆用立方和公式:ab(ab)(aabb(拓展))
d。逆用立方差公式:a3b3(ab)(a2abb2(拓展))
注意:①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法:主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式;若多项式是三项式,可考虑完全平方公式。
例1:因式分解a214a49
解:a14a49=(a7)2
例2:因式分解a2a(bc)(bc) 解:a2a(bc)(bc)=(abc) (3)分组分解法(拓展)
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解; 例:把多项式abab1分解因式
解:abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1) ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解。
例:将多项式a2ab1b因式分解
解:a2ab1b
=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)
2x (4)十字相乘法(形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式,可以考虑运用此种方法)
方法:常数项拆成两个因数p和q,这两数的和pq为一次项系数
x2(pq)xpq
x2(pq)xpq(xp)(xq)
例:分解因式x2x30 分解因式x252x100 补充点详解 补充点详解
我们可以将—30分解成p×q的'形式, 我们可以将100分解成p×q的形式, 使p+q=—1, p×q=—30,我们就有p=—6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2, q=5或q=—6,p=5。 q=50或q=2,p=50。
所以将多项式x2(pq)xpq可以分 所以将多项式x2(pq)xpq可以分 解为(xp)(xq) 解为(xp)(xq)
x
x5
x2
—6
x50
x2x30(x6)(x5)
3。因式分解的一般步骤:
x252x100(x50)(x2)
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。因此,可以概括为:“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意:因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明
确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。
一、 例题解析
提公因式法
提取公因式:如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面。 确定公因式的方法:
系数——取多项式各项系数的最大公约数;
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂。 【例 1】 分解因式:
⑴15aab
2n1
10abba(n为正整数)
2n
⑵4a2n1b6an2b1(、n为大于1的自然数)
【巩固】 分解因式: (x)2n1(xz)(x)2n2(x)2n(z),n为正整数。
【例 2】 先化简再求值,xxxx2,其中x2,2
求代数式的值:(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x),其中x。
3
1. 2
22221
【例 3】 已知:bca2,求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值。
33333
公式法
平方差公式:a2b2(ab)(ab)
①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反; ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式;
③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积。 完全平方公式:a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2 ①左边相当于一个二次三项式;
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式;
分解因式:x3(xz)(za)x2z(zx)x2(zx)(xza)。
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负;
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定。 一些需要了解的公式:
a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2) (ab)3a33a2b3ab2b3 (ab)3a33a2b3ab2b3